Cross product là gì? Cross Product, hay còn gọi là tích vector, là một khía cạnh quan trọng trong lĩnh vực đại số tuyến tính và hình học. Bài viết hôm nay sẽ giúp bạn trả lời câu hỏi trên, đồng thời cung cấp định nghĩa cơ bản và giải thích các khía cạnh quan trọng. Cùng HappyMath tìm hiểu về tính chất và ứng dụng thực tế của Cross Product trong lĩnh vực toán học. Bắt đầu nào!
Cross product là gì trong toán?
Định nghĩa
Cross product là gì
Cross Product là một phép toán đặc biệt giữa hai vector trong không gian ba chiều. Kết quả của phép toán này là một vector mới, thường được ký hiệu bằng "A x B," trong đó A và B là hai vector ban đầu. Cross Product được biểu thị bằng công thức:
A x B = |A| |B| sin(θ) n
Trong đó:
-
|A| và |B|: độ dài của hai vector A và B.
-
θ: góc giữa hai vector AB.
-
n: vector vuông góc với mặt phẳng mà A và B tạo thành.
Cross product của 2 vector
Một vectơ vuông góc với cả hai vectơ A và B là kết quả của phép toán A × B. Cross Product thường được sử dụng để xác định vector nằm vuông góc với mặt phẳng mà hai vector A và B tạo thành. Trong khi đó, “dot product” thường được sử dụng để tìm góc giữa hai vector hoặc độ dài của một vector.
Kết quả tích vector A x B có thể được sử dụng để xác định vector pháp tuyến của một mặt phẳng, tính thể tích của các hình học không gian, và trong nhiều ứng dụng trong hình học không gian và vật lý.
Cross product là gì trong toán?
Ma trận cross product
Ma trận Cross Product là một cách thú vị để biểu diễn phép tính Cross Product giữa hai vector. Hãy cùng phân tích ví dụ bên dưới để giải mã Ma trận Cross Product dựa trên hai vector A và B:
Giả sử bạn có hai vector A và B được biểu diễn như sau:
-
A = ai + bj + ck
-
B = xi + yj + zk
Khi đó, Ma trận Cross Product giữa A và B sẽ có dạng như sau:
A × B = [(bz – cy)i - (az – cx)j + (ay – bx)k]
Công thức này sử dụng các phần tử của vector A và B để tính toán các thành phần của Ma trận Cross Product. Chẳng hạn, phần tử đầu tiên của Ma trận là (bz - cy), và nó tương ứng với thành phần i của Ma trận Cross Product.
Ma trận Cross Product là một công cụ quan trọng trong toán học, đặc biệt trong hình học và cơ học lượng tử, và nó giúp xác định mối quan hệ giữa hai vector trong không gian ba chiều. Đây là một trong những cách thú vị để hiểu về Cross Product và ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau của toán học và khoa học.
Ma trận cross product
Luật cross product bàn tay phải
Khi xử lý Cross Product, bạn cần lưu ý một định luật quan trọng gọi là "Luật Cross Product Bàn Tay Phải." Đây là một cách hữu ích để xác định hướng của kết quả tích vector dựa trên vị trí của các vector đầu vào.
Cụ thể, để áp dụng Luật Cross Product Bàn Tay Phải, bạn có thể làm theo các bước sau:
-
Hướng ngón tay áp út và ngón giữa của bàn tay phải ra theo hai chiều tương ứng với hai vector ban đầu. Cụ thể hơn là đặt ngón áp út theo hướng của vector thứ nhất và ngón giữa theo hướng của vector thứ hai.
-
Đặt các ngón áp út và ngón út vào lòng bàn tay.
-
Bạn sẽ thấy rằng ngón cái tỏ ra theo hướng mà Cross Product (hay vector đơn vị n) sẽ trỏ. Từ đó bạn sẽ tìm ra hướng của vector.
Luật cross product bàn tay phải
Luật Cross Product Bàn Tay Phải giúp bạn nhớ cách xác định hướng của kết quả Cross Product là gì một cách dễ dàng. Nó cũng là lý do tại sao Cross Product không thỏa mãn tính chất giao hoán (không commutative), nghĩa là A x B không bằng B x A. Thay vào đó, hướng của kết quả thay đổi tùy theo vị trí của vector ban đầu, và điều này được áp dụng một cách hiệu quả thông qua Luật Cross Product Bàn Tay Phải.
Xem thêm: Học toán tiếng anh online thế nào để hiệu quả?
Ví dụ về cross product
Để minh họa Cross Product là gì một cách dễ hiểu, hãy cùng xem xét một ví dụ cụ thể:
Giả sử chúng ta có hai vector A và B được đưa ra bởi các phương trình vector sau đây:
Vector A: A = (3i + 2j - k)
Vector B: B = (i - 4j + 2k)
Bây giờ, để tính Cross Product của hai vector này, chúng ta sử dụng công thức Cross Product:
A x B = |A| |B| sin(θ) n
|A| và |B| là độ dài của vector A và B, có thể được tính bằng cách sử dụng căn bậc hai của tổng bình phương của từng thành phần. Suy ra ta có:
-
|A| = √(3^2 + 2^2 + (-1)^2) = √(9 + 4 + 1) = √14
-
|B| = √(1^2 + (-4)^2 + 2^2) = √(1 + 16 + 4) = √21
Tiếp theo, ta tính tích vô hướng của A và B như sau:
A x B = (3 x 1) + (2 x (-4)) + (-1 x 2) = 3 - 8 - 2 = -7
-
Ứng dụng của cross product trong toán
-
Tìm vector pháp tuyến và mặt phẳng: Việc tìm vector pháp tuyến của một mặt phẳng trong hình học không gian thường được thực hiện bằng cách sử dụng tích vector. Nếu bạn có hai vector không cùng phẳng trên một mặt phẳng, thì Cross Product của họ sẽ cho bạn vector pháp tuyến của mặt phẳng đó.
-
Tính thể tích: Cross Product cũng được sử dụng để tính thể tích của hình học không gian, như tứ diện và hình lập phương. Bằng cách tính Cross Product của ba vector, bạn có thể xác định thể tích của một khối hình học.
-
Tính diện tích: Cross Product giúp tính diện tích của một tam giác trong mặt phẳng. Nếu bạn có hai vector bên của tam giác, Cross Product của chúng sẽ cho bạn diện tích của tam giác đó.
-
Xác định đồng phẳng: Cross Product cũng giúp xác định xem hai vector có nằm trên cùng một mặt phẳng hay không. Nếu Cross Product của chúng bằng vector không, nghĩa là chúng không nằm trên cùng một mặt phẳng.
Ứng dụng của cross product trong toán
Các tính chất của cross product
Cross Product là một phép toán đặc biệt trong toán học và đại số tuyến tính. Dưới đây là các tính chất quan trọng của Cross Product:
-
Không giao hoán (Non-commutative): Điều này có nghĩa là A x B không bằng B x A. Kết quả của Cross Product thay đổi tùy theo thứ tự của các vector.
-
Phép cộng:
-
A x (B + C) = A x B + A x C
-
(A + B) x C = A x C + B x C
-
-
Nhân với số thực: (kA) x B = k(A x B) = A x (kB)
-
Vector không và Cross Product: A x 0 = 0 x A = 0 (Cross Product của bất kỳ vector nào với vector không là vector không).
-
Độ dài của Cross Product: |A x B| = |A| |B| sin(θ), trong đó |A| và |B| là độ dài của A và B, và θ là góc giữa chúng.
-
Phép Cross Product của cùng một vector: A x A = 0 (Cross Product của một vector với chính nó luôn bằng vector không).
-
Phép Cross Product của vector đối xứng: A x B = -(B x A) (Kết quả của Cross Product đối với hai vector có dấu trái chiều).
-
Hướng của Cross Product: Hướng của Cross Product được xác định bởi nguyên tắc bàn tay phải. Nếu bạn đặt ngón cái của bàn tay phải theo hướng của vector đầu tiên và ngón trỏ theo hướng của vector thứ hai, thì ngón giữa sẽ trỏ theo hướng của Cross Product.
-
Vector đơn vị Cross Product: Nếu bạn muốn có vector đơn vị của Cross Product (độ dài bằng 1), bạn có thể chia kết quả của Cross Product cho độ dài của nó: n = (A x B) / |A x B|.
-
Diện tích và thể tích: Cross Product cũng được sử dụng để tính diện tích của một tam giác (trong mặt phẳng) hoặc thể tích của một khối hình học 3D bằng cách tính độ dài của Cross Product của các vector liên quan.